

%============
%============
% !TEX TS-program = XeLaTeX
% !TeX root=SuTech_Thesis_RTeX.tex
%============
%============





\chapter{
	روابط ریاضی
}


	
	در این فصل ویژگی‌های مهم و پرکاربرد زی‌پرشین و لاتک معرفی می‌شود. 
	برای راهنمایی بیشتر و به‌کاربردن ویژگی‌های پیشرفته‌تر به 
	کتاب‌های راهنمای زی‌پرشین و راهنمای لاتک مراجعه کنید. 
	برای آگاهی از دستورات لاتک که این خروجی را تولید کرده‌اند 
	فایل‌های درون پوشه  \lr{SUTech Thesis} را 
	ملاحظه فرمایید\footnote{
		بیشتر مطالب این بخش از مثال‌های  آزاد در معرفی و آموزش 
		\lr{XePersian\_Example}
		گرفته شده‌اند.}.




%============
%============

\section{
	ساختار ریاضی
	}\label{formula}


	
	هر جایی از نوشتهٔ خود، اگر می‌خواهید به سر سطر بروید و یک بند تازه را آغاز کنید، 
	باید یک خط (یا بیشتر) را خالی بگذارید\footnote{
	یعنی دوبار باید کلید \lr{Enter} را بزنید.
	}
	مانند این:


	حالا که یک بند تازه آغاز شده است، یک 
	زیرنویس انگلیسی\LTRfootnote{English Footnote}
	هم می‌نویسیم!
	


%============
%============

\subsection{
	حساب و شمارش
	}



	اینجا هم یک فرمول می‌آوریم که شماره دارد:
%
%
\begin{equation}\label{eq:yek}
	A=\frac{c}{d}+\frac{q^2}{\sin(\omega t)+\Omega_{12}}
\end{equation}



	در لاتک می‌توان به کمک فرمان 
	\lr{\textbackslash label\{\}}
	به هر فرمول یک نام نسبت داد. در فرمول بالا نام \lr{eq:yek} را 
	برایش گذاشته‌ایم (پرونده \lr{tex} همراه با این مثال را ببینید). 
	این نام ما را قادر می‌کند که بعداً بتوانیم با فرمان
	\lr{(\textbackslash ref\{eq:yek\})}
	به آن فرمول با شماره ارجاع دهیم. یعنی بنویسیم فرمول~(\ref{eq:yek}). 
	لاتک خودش شماره  فرمول‌ها را مدیریت می‌کند.\footnote{یعنی اگر بعدا فرمولی 
	قبل از این فرمول بنویسیم، خودبه‌خود شماره این فرمول 
	و شماره ارجاع‌ها به این فرمول یکی زیاد می‌شود.} 
	این هم یک فرمول که شماره ندارد:
$$A=|\vec{a}\times \vec{b}| + \sum_{n=0}^\infty C_{ij}$$



این هم عبارتی ریاضی مانند 
$\sqrt{a^2+b^2}$
که بین متن می‌آید.
مدل‌های شناختی احتمالاتی معرفی شده در فصل~1 را به یاد بیاورید، 
در مدل  احتمالاتی که در اینجا معرفی می‌کنیم فضای احتمالاتی که به 
هر عامل $ a\in\mathcal{A} $ در هر جهان $ s\in S $ تخصیص می‌دهیم 
به‌صورتی است که فضای نمونه‌ یعنی $ S_{a,s} $ هر زیرمجموعه‌ی دلخواهی از $ S $ 
می‌تواند باشد ولی $ \sigma $-جبر 
مجموعه‌های اندازه‌پذیر 
($ \mathcal{F}_{a,s} $)
همواره مجموعه‌ی توانی فضای نمونه است. 
برای فهرست‌کردن چند مورد:
\begin{itemize}
	\item مورد یکم
	\item مورد دوم
	\item مورد سوم
\end{itemize}
و اگر شماره‌ها برایمان مهم باشد:
\begin{enumerate}
	\item مورد یکم
	\item مورد دوم
	\item مورد سوم
\end{enumerate}
می‌توان موردهای تودرتو داشت:
\begin{enumerate}
	\item مورد ۱
	\item مورد ۲
	\begin{enumerate}
		\item مورد ۱ از ۲
		\item مورد ۲ از ۲
		\item مورد ۳ از ۲
	\end{enumerate}
	\item مورد ۳
\end{enumerate}
شماره‌گذاری این موردها را هم لاتک انجام می‌دهد.



%============
%============

\subsection{
	الگوها و هارمونی‌ها
	}\label{zirbakhsh}



	این زیربخش~\ref{zirbakhsh} است؛ یعنی یک بخش درون بخش~\ref{formula} است.
	




%============
%============

\subsubsection{یک زیرزیربخش}

	
	این هم یک زیرزیربخش است. می‌توانید بخش‌های تودرتو در نوشته‌تان تعریف کنید 
	تا ساختار منطقی نوشته را به خوبی نشان دهید. 
	می‌توانید به این بخش‌ها هم با شماره ارجاع دهید، 
	مثلاً بخش فرمول‌های ریاضی شماره‌اش~\ref{formula} است.









%============
%============

\section{
	جدول‌ها
	}
	
	
	فاصله بین خطوط هر چند تا که باشند، در خروجی ظاهر نمی‌شوند. تعداد بیشتر استفاده از 
	کلید Space نیز بین کلمات فاصله بیشتری ایجاد نمی‌کند. همچنین توضیحات درون یک خط 
	که در ابتدای آن علامت  ٪ گذاشته شده در خروجی دیده نمی‌شوند.
	این خصوصیات را به عنوان ابزار ببینید!  ابزاری که می‌توانند به شما در نوشتن یک فایل متنی  
	که شلوغی کمتری دارد، و جستجو و خطایابی در آن ساده‌تر هست کمک کنند. 
	در ادامه نمونه‌ای از ارایه جدول، شکل و فرمول آورده شده است.
%
%
\begin{table} [H]
	\caption{
		  جداسازی حسگرهای معیوب
		  }
	\label{J201}
	\centering
	\onehalfspacing
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
		\hline 
		مانده & حسگر اول & حسگر اول & حسگر سوم \\ 
		\hline 
		$r_1$ &0  &1  &1  \\ 
		\hline 
		$r_2$&1  &0  &1  \\ 
		\hline 
		$r_3$&1  &1  &0  \\ 
		\hline 
	\end{tabular} 
\end{table}





	این مدل‌ها بسیار شبیه مدل‌های شناختی هستند، 
	با این تفاوت که به‌جای دانش‌های مربوط به وضعیت‌های ثابت، 
	دانش درباره‌ی پدیده‌ها مدل شده است.\RTLfootnote{کلمه‌ی «پدیده» ترجمه‌ای است 
		از کلمه‌ی \lr{event}، از آنجایی که این کلمه علاوه بر منطق شناختی پویا 
		در نظریه احتمالات نیز استفاده می‌شود، 
		باید دانست که با تفسیرهای متفاوتی در این دو مقوله به کار می‌رود.} 
	روابط  $ \sim $ روی پدیده‌ها ابهام درباره‌ی اینکه چه پدیده‌ای واقعا  رخ داده است 
	را مدل می‌کنند. $ e\sim_a e' $ می‌تواند به این صورت خوانده شود 
	که «اگر فرض شود که پدیده $ e $ رخ داده است رخداد پدیده $ e' $ با دانشِ $ a $ سازگار است». 


برای اینکه بتوانیم به گونه‌ای صریح و شفاف در باب تغییر داده‌های احتمالاتی 
در قالبی شناختی-پویا استدلال کنیم، می‌بایست منطق شناختی احتمالاتی موجود 
را به‌وسیله‌ی اصول موضوعه‌ی  مناسب توسعه دهیم. 
در این بخش نشان می‌دهیم که چگونه می‌توان این کار را بر مبنای 
معناشناسی مدل‌های عمل احتمالاتی، که معرفی خواهد شد، انجام داد.
شکل~\ref{fig1}  به‌صورت نمونه ارایه شده است.
%
\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=10cm]{fig9}
	% [width=10.01cm,height=4.4cm]
	\caption{
		تابع سهمی
		}
	\label{fig1}
\end{figure}



فرمول‌ها به‌صورت وسط‌چین 
و شماره آنها به‌صورت راست‌چین در سمت راست فرمول نوشته شود.
%
% 
\begin{equation}
	\label{eq:eq1}
	f_{\rm load}  = f_s \left[ 1 \pm m \left(\frac{1-s}{p} \right) \right] 
\end{equation}
%
	در اين رابطه $f_s$ فركانس منبع تغذيه الكتريكی، $s$ لغزش، $p$ تعداد 
	جفت قطب‌ها و  $m=1,2,3,...$ است.
	حال داریم:
%
%
\begin{eqnarray*}
	%
	D^\alpha    t^\lambda   &=& D^m  (J^{m-\alpha}  t^\lambda)    
	\\
	&=&   \frac{d^m}{dt^m}    \frac{\Gamma(n+1) }{\Gamma(\lambda+m-\alpha+1)}            
	t^{\lambda+m-\alpha}   \\   &=&\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(\lambda+m-\alpha+1)}      \frac{d^m}{dt^m}      
	t^{\lambda+m-\alpha}  \\
	&=&   \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(\lambda+m-\alpha+1)} 
	\left [\frac{\Gamma(\lambda+m-\alpha+1)}
	{\Gamma(\lambda+m-\alpha+1)}   t^{\lambda+m-\alpha-m}  \right ]   \\
	&=& \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(\lambda-\alpha+1)}  t^{\lambda-\alpha}
	%
\end{eqnarray*}







%============
%============

\section{
	تعریف توابع
	}
	
	
	نوشتن عبارت  argmin در متن فارسی با نوشتن همین عبارت در فضای لاتین
	\lr{argmin}
	و یا فضای رابطه ریاضی  $argmin$ با هم  تفاوت دارند.  اگر هدف ما استفاده از 
	یک تابع در نوشتار هست، باید آن را برای لاتک تعریف کنیم. از آن پس لاتک 
	تابع  
	$ \argmin_{\lambda} $
	 را می‌شناسد و این عبارت را به عنوان نام یک تابع در روابط ریاضی 
	استفاده می‌کند. برای ذکر تعریف، قضیه، مثال و استفاده از توابع مثال‌های ذیل را ببینید.
%
%
\begin{definition}
	مجموعه همه ارزیابی‌های  (پیوسته)  روی $(X,\tau)$، دامنه توانی احتمالی
	\index{دامنه توانی احتمالی}
	$ X $
	نامیده می‌شود.
\end{definition}


\begin{theorem} %[باناخ]

	اگر $ V $ یک همسایگی $ 0 $ در فضای برداری 
	توپولوژیکی $ X $ باشد و 
	\begin{eqnarray}\label{eq21}
		K &=&  \argmin_{\lambda} ||Ax-b||^2+\lambda|x|_1  
		\\
		&=&
		\left\lbrace \Lambda \in X^{*}:|\Lambda x|\leqslant 1 ; \ \forall x\in V\right\rbrace,
		\nonumber
	\end{eqnarray}
	آنگاه $ K $،  ضعیف*-فشرده است که در آن، $ X^{*} $ دوگان
	فضای برداری توپولوژیکی $ X $ است به ‌طوری که عناصر آن،  تابعی‌های 
	خطی پیوسته
	\index{تابعی خطی پیوسته}
	روی $X$ هستند.
\end{theorem}



\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=.9\textwidth]{fig7}
	\caption{
		هارمونی‌های سینوسی
	}
	\label{fig2}
\end{figure}


تساوی \eqref{eq21} یکی از مهم‌ترین تساوی‌ها در آنالیز تابعی است که در ادامه، به وفور از آن استفاده می‌شود. بسیاری از دستورات و توابع،  به عنوان مثال ارجاع به روابط ریاضی،  به منظور ایجاد یک فضای آموزشی به صورت‌های متفاوت به کار رفته‌اند.


\begin{example}
	برای هر فضای مرتب، گردایه 
	$$U:=\left\lbrace U\in O: U=\uparrow U\right\rbrace $$
	از مجموعه‌های بالایی باز، یک توپولوژی تعریف می‌کند که از توپولوژی اصلی، درشت‌تر  است.
\end{example}




حال تساوی 
\begin{equation}\label{eq22}
	\sum_{n=1}^{+\infty} 3^{n}x+7x=\int_{1}^{n}8nx+\exp{(2nx)}
\end{equation}
را در نظر بگیرید. با مقایسه تساوی~\eqref{eq22} با 
تساوی~\eqref{eq21} می‌توان نتیجه گرفت.



\begin{corollary}\label{ch2:converge}
	
	در گزاره‌ی قبل اگر $ x $ یک نقطه‌ی انباشتگی $ A $ باشد، آن‌گاه دنباله‌ای از اعضاء $ A $ با جملات متمایز وجود دارد که به $ x $ همگرا است.
\end{corollary}


\begin{es}
	اگر $ x $ یک نقطه‌ی انباشتگی باشد، نقطه‌ی $ x_1 \in A $ را 
	چنان اختیار می‌کنیم که $ x_1 \neq x $  و افزون ‌بر این
	$ d(x, x_1) <1$.
	حال به استقراء اگر 
	$ x_1 ,x_2 , ... , x_n \in (A\backslash \{ x\}) $ 
	انتخاب شده باشند، 
	$ x_{n+1}\in (A\backslash\{x\}) $
	را طوری انتخاب می‌کنیم که
	$d(x,x_{n+1}) <\min  \{\frac{1}{1+n} ,d(x,x_n)\}$. 
	در این‌صورت $ {x_n} $ یک دنباله از $ A $ وجود دارد که ازای
	$ n\neq m $،
	$ x_n \neq x_m $ 
	و افزون ‌بر این 
	$ \lim x_{n}=x $.
	
\end{es}


\vfil \hfil
\resizebox{.4\textwidth}{!}  { \textcolor{Blue}{
$
\mathbb{R}_{\text{\small \lr{\TeX}}}
$
}}






